La semejanza de figuras y sus aplicaciones

Uno de los conceptos geométricos que suele crear cierta confusión es el de "semejanza". 

Posiblemente, dicha confusión se deba a que en el lenguaje cotidiano utilizamos el término "semejante" como sinónimo de "parecido". Pero, parecido ¿en qué?, ¿en tamaño?, ¿en forma?...

En matemáticas "dos figuras son semejantes cuando tienen la misma forma pero distinto tamaño".

Observa las figuras del ejemplo siguiente:

Es cierto que a simple vista parecen semejantes, pero ¿realmente tienen la misma forma o solo lo parecen?

Matemáticamente se comprueba que tienen la misma forma cuando sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes son proporcionales.

Si dividimos la medida de cada lado de la figura grande entre la medida de su lado correspondiente en la figura pequeña obtendremos una cantidad fija (en esta figura ese cociente es 3) que se llama razón de semejanza.

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¿Cómo podemos dibujar figuras semejantes?

Para dibujar figuras semejantes podemos utilizar una transformación geométrica llamada homotecia:

• Si la razón, k, es mayor que 0 se llama homotecia directa:

• Si la razón, k, es negativa se denomina homotecia inversa:

Observa que en las homotecias directas las figuras semejantes quedan al mismo lado y en la misma posición que las originales mientras que en las inversas quedan al lado contrario y giradas respecto de las originales.

Fíjate qué forma más sencilla de dibujar un arbolito (gris) cuyos lados miden el triple (k=3) que los lados del original (verde):

¡Pero recuerda que la superficie que ocupa el árbol grande es 9 veces la superficie del pequeño!

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La semejanza en la vida cotidiana

Veamos algunos ejemplos de la vida cotidiana en los que utilizamos el concepto de semejanza:

• Una fotografía de tamaño 10x15 cm y su ampliación a tamaño 40x60 cm. son semejantes y guardan la misma proporción tanto a lo ancho como a lo largo (k = 4)

• Un topógrafo desea determinar la distancia entre dos ciudades, para lo que utiliza un mapa. La escala utilizada es de 1:300000, es decir, un centímetro en el mapa representa 300000 cm = 3 km en la realidad.

• La construcción de planos o maquetas a escala para edificios, aviones, barcos... requiere de una buena aplicación de los conceptos de semejanza y proporcionalidad, es decir, el tamaño de cada una de sus partes debe estar acorde con el tamaño que el objeto tiene en la realidad.

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Razón de las áreas y volúmenes en figuras semejantes

Ya sabemos que si dos figuras son semejantes con razón de semejanza r, la razón entre las longitudes de segmentos de una de ellas y sus homólogos en la otra es r, pero ¿qué pasa con las áreas y con los volúmenes?

Observa los siguientes gráficos:

Fíjate que las fórmulas anteriores son "lógicas":

- Cuando hallamos áreas multiplicamos dos longitudes (base por altura, lado por lado...) por lo que, si ambas longitudes se multiplican por r,  el área quedará multiplicada por r y por r, es decir, por r al cuadrado.

- De igual modo, cuando hallamos volúmenes multiplicamos tres longitudes (lado al cubo, lado por lado por lado, área de la base por la altura...) por lo que, si las tres longitudes se multiplican por r, el volumen quedará multiplicado por r al cubo.

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Semejanza en triángulos

En geometría se ha estudiado de una manera especial la semejanza de triángulos puesto que son figuras muy sencillas que aparecen en la descomposición de cualquier figura poligonal.

Se han establecido tres criterios que permiten identificar triángulos semejantes sin necesidad de probar que todos los lados correspondientes son proporcionales y que todos los ángulos correspondientes también son iguales:

Y aún se puede simplificar más el estudio de la semejanza de triángulos si aplicamos el siguiente criterio:

"Si dos triángulos tienen un ángulo igual y los lados opuestos a dicho ángulo son paralelos entonces son triángulos semejantes"

Cuando esto ocurre decimos que los triángulos están en posición de Thales. Observa que, en este caso, podemos conseguir que los triángulos encajen perfectamente.

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Aplicaciones de la semejanza de triángulos

Los criterios de semejanza de triángulos se basan en el conocido "Teorema de Thales", que, por cierto, aunque lleva su nombre, no lo enunció este famoso filósofo y matemático griego si no que lo hizo Euclides varios siglos después.

Parece cierto que Thales (que nació en el año 640 a.C.) fue capaz de medir la altura de una de las pirámides de Egipto comparando su sombra con la que arrojaba, en ese mismo instante, una vara vertical.

Posteriormente se consiguieron muy buenas aproximaciones de medidas de distancias a puntos inaccesibles utilizando semejanza de triángulos.

Con el tiempo, de la semejanza de triángulos surgieron los conceptos de seno, coseno y tangente de un ángulo agudo que, como ya vimos en otra entrada, dieron lugar al inicio de la trigonometría:

Primeros pasos en trigonometría

Como hemos indicado anteriormente, una de las aplicaciones prácticas más conocidas de la semejanza de triángulos es el cálculo de distancias inaccesibles. 

A continuación, te muestro un ejemplo:

Ahora te propongo que resuelvas tú la siguiente actividad:

Con los datos del gráfico, ¿cuál será la altura de la fachada de esa casa?

Pista: Observa que si desde la cabeza de la chica trazamos una perpendicular a la fachada de la casa se forman dos triángulos semejantes...

Cuando hagas los cálculos verás que los datos del dibujo no guardan relación con la realidad y que la altura de la fachada de la casa es de 35'8 metros... Ya ves que se trataba de un edificio muy muy alto.

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Si quieres profundizar más en este tema y practicar con ejercicios sobre semejanza de triángulos te dejo el siguiente enlace:

Semejanza de figuras. Aplicaciones.