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Sistemas de ecuaciones

Lo primero que debemos aclarar es qué entendemos por un sistema de ecuaciones.

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas de las que pretendemos encontrar las soluciones comunes a todas ellas.

Observa que una solución de un sistema de ecuaciones será, por tanto, un conjunto de valores de las incógnitas que cumplan todas la ecuaciones del sistema.

Los sistemas de ecuaciones surgen de forma natural cuando tenemos que resolver problemas en los que necesitamos encontrar los valores de varias incógnitas que deben satisfacer a la vez ciertas condiciones expresadas mediante relaciones de igualdad.

Ejemplo:  "La semana pasada compramos berenjenas a un precio de 2,7€/kg y patatas a un precio de 0,7€/kg pagando por ellas un total de 15,1€. Sin embargo, esta semana hemos pagado 18€ por una compra con la misma cantidad de estas hortalizas a un precio de 2€ por kilo de berenjenas y 1,2€ por kilo de patatas. Calcular la cantidad de hortalizas que se compran".  

Para resolver este problema procederemos así:

Los sistemas de ecuaciones constituyen, pues, una herramienta muy útil para la resolución de problemas. Por lo tanto, estarán presentes en muchos ámbitos de nuestra vida.

Es muy conveniente que te familiarices con ellos y aprendas técnicas para encontrar sus soluciones.
Solo por curiosidad, he estado revisando algunos de los problemas que habitualmente se proponen en clase de Física y la mayoría se resuelven sustituyendo los datos del enunciado en algunas de las fórmulas conocidas. 
Vamos, que para resolver el problema planteamos y resolvemos un sistema de varias ecuaciones (las fórmulas utilizadas) con varias incógnitas (los valores desconocidos). 

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Sistemas lineales 2x2.  Interpretación gráfica

Vamos a comenzar estudiando los sistemas más sencillos, aquellos que están formados por dos ecuaciones lineales con dos incógnitas (2x2).

Como ya sabemos, la expresión  ax+by=c  además de ser una ecuación lineal con dos incógnitas también se puede interpretar como la ecuación general de una recta en el plano. Cada solución (x,y) de la ecuación lineal se corresponde con las coordenadas de uno de los puntos de la recta.

Gráficamente, podemos interpretar un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas como un conjunto de dos rectas en el plano. Cada solución del sistema será, pues, un punto común a ambas rectas:

Este método para resolver sistemas 2x2 es muy fácil de entender pero, en la práctica, es poco útil puesto que requiere representar a la perfección ambas rectas y, además, localizar las coordenadas del punto de corte con exactitud y eso solo ocurrirá si dichas coordenadas son números enteros o números fraccionarios muy sencillos. 
Sin embargo, el método gráfico nos permite distinguir muy bien los distintos tipos de sistemas que podemos encontrarnos en función del número de soluciones que tengan:

Métodos analíticos de resolución

Ya hemos visto que el método gráfico es muy intuitivo pero poco práctico puesto que pocas veces nos permitirá encontrar la solución exacta de un sistema de ecuaciones. 

Afortunadamente, existen métodos analíticos que permiten resolver los sistemas con mucha eficacia. Vamos a recordar los que se utilizan en niveles básicos:

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

Es el más utilizado pues permite resolver la mayoría de los sistemas, tanto los formados por ecuaciones lineales como los que están formados por ecuaciones cuadráticas, exponenciales o logarítmicas.

MÉTODO DE IGUALACIÓN

Es una variante del método de sustitución utilizado de forma puntual.

MÉTODO DE REDUCCIÓN

Se utiliza cuando las ecuaciones lineales tienen alguna incógnita con coeficientes iguales o proporcionales. Una generalización del método de reducción es el conocido "método de Gauss" para resolver sistemas lineales cualesquiera (mxn) que se estudia, generalmente, en Bachillerato.

Pero, ¿en qué consiste cada uno de los métodos?

Veamos cómo se aplica cada uno de ellos en el siguiente ejemplo:


En el siguiente enlace puedes encontrar varios sistemas para resolver. También puedes acceder a la resolución completa de cada ejercicio:

Ejercicios para practicar

Ahora podrías aplicar alguno de estos métodos y resolver el problema que planteamos al inicio. ¿Recuerdas el problema de las berenjenas y las patatas?

¡Ánimo! Yo solo te daré la solución: 3 kg de berenjenas y 10 kg de patatas pero los cálculos debes hacerlos tú.

Te dejo un enlace en el que encontrarás más problemas para resolver con sencillos sistemas 2x2:

Problemas

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Otros tipos de sistemas

Hasta ahora hemos trabajado con los sistemas más sencillos, formados por dos ecuaciones lineales con dos incógnitas pero existen sistemas lineales que pueden tener cualquier número de ecuaciones (m) y cualquier número de incógnitas (n). 
Para resolver este tipo de sistemas mxn se han desarrollado métodos de resolución más avanzados, entre ellos podemos destacar:
  • El método de Gauss
  • Operaciones con matrices: la matriz inversa.
  • Operaciones con determinantes: la regla de Cramer.

Pero estos métodos requieren una mayor formación matemática y se estudian en Bachillerato.

También existen sistemas formados por ecuaciones no lineales (cuadráticas, con radicales, exponenciales, logaritmos...). Para resolver este tipo de sistemas se suele emplear el método de reducción.
Te dejo algunos enlaces por si te apetece profundizar en este tipo de sistemas:


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