Es muy frecuente pensar que en matemáticas trabajamos exclusivamente con números, sin embargo sabemos que no es cierto. Usamos números, letras y símbolos (para indicar operaciones o relaciones entre los elementos que intervienen).
De hecho, utilizamos números cuando expresamos cantidades concretas, pero si nos referimos a cantidades abstractas, generales o, incluso, desconocidas usamos letras o símbolos (muy utilizados en la antigüedad pero menos frecuentes actualmente).
Por eso, el alumado debe comenzar trabajando con números concretos (Aritmética) y sólo se debe dar el salto al número abstracto (Álgebra) cuando esté preparado para ello, es decir, cuando tenga suficiente capacidad de abstracción.
- Uso de letras para generalizar propiedades: Si decimos que 2 + 3 = 3 + 2 podemos dar a entender que esa propiedad es cierta solo para esos números concretos, pero, si queremos afirmar que la propiedad se cumple para cualquier pareja de números a y b, debemos escribir a + b = b + a (propiedad conmutativa de la suma de números). En este caso, las letras designan números genéricos y permiten expresar relaciones generales entre los objetos que representan.
Desde muy temprana edad se enuncian a los alumnos y alumnas las propiedades generales de las operaciones numéricas mediante el uso de letras pero la realidad es que, en muchos casos, no entienden nada de lo que se les quiere transmitir porque no están preparados para ese nivel de abstracción. En el mejor de los casos se aprenden de memoria las expresiones pero, en general, no las comprenden.
En Secundaria, se amplia este uso a las identidades ("igualdades entre expresiones algebraicas que son ciertas para todos los valores de las letras que intervienen") entre las que destacan las famosas "identidades notables"
- Uso de letras para expresar fórmulas: En otras ocasiones utilizamos letras para expresar relaciones de dependencia entre distintas magnitudes ("fórmulas"). Así, por ejemplo, en geometría son muy conocidas fórmulas como las siguientes:
- Uso de letras como variables indeterminadas: En Álgebra trabajamos con números y letras relacionados mediante operaciones matemáticas. Son las expresiones algebraicas, entre las que destacan los polinomios.
Así, en la expresión
la letra x representa una variable o indeterminada que puede tomar cualquier valor.
- Uso de letras como incógnitas: Es el uso habitual en las ecuaciones, sistemas de ecuaciones o inecuaciones.
Cuando resuelves la ecuación
lo que pretendes es hallar el valor o los valores de la variable (incógnita) para los cuales se cumple la igualdad dada.
Si decimos que la solución de dicha ecuación es "x=6" estamos afirmando que al sustituir x por el valor 6 en ambos miembros de la ecuación obtenemos el mismo resultado, en este caso 13.
Es importante observar que la incógnita representa un objeto desconocido que se manipula como si fuera conocido. Es decir, operamos con las letras tal y como operamos con los números, puesto que las letras representan números (generales, indeterminados, desconocidos... pero, al fin y al cabo, "números")- Uso de letras como variables para expresar cantidades que varían conjuntamente: Es la interpretación que tienen las variables en las funciones.
Recuerda que una función es una relación entre dos o más variables entre las cuales hay una que depende de la otra (o de las otras, en funciones de mayor complejidad). De ahí surgen los conceptos de variable dependiente y variable independiente que ya tratamos en una entrada anterior dedicada al concepto de función.
Por ejemplo, la función
expresa que la posición de un móvil, s, está relacionada con el tiempo, t, que lleva en movimiento mediante la igualdad anterior.
En este caso, la variable independiente es el tiempo, t, que toma valores libremente dentro de un cierto intervalo. La variable dependiente es la posición del móvil, s, cuyos valores no son libres puesto que dependen de los valores que haya tomado la variable t.
- Uso de letras como constantes: En ocasiones se emplean letras para representar algunos valores constantes especialmente importantes. Así, por ejemplo, en física usamos la letra g para identificar el valor de la gravedad, g = 9,8 m/s2.
- Uso de letras como parámetros: Vamos a intentar comprender el concepto de parámetro mediante algunos ejemplos.
- En la siguiente expresión
aparecen tres letras con significados diferentes. Se trata de la fórmula general de una función lineal, o mejor dicho, de todas las funciones lineales.
Sabemos que es así porque las variables x e y están relacionadas mediante una expresión polinómica de primer grado y, además, no tiene término independiente. También sabemos que, geométricamente, se trata de rectas que pasan por el origen de coordenadas.
¿Qué interpretación tiene la letra m en dicha fórmula? Sabemos que representa la pendiente de la recta, por lo que para cada valor de m obtenemos una de las infinitas rectas que pasan por el origen de coordenadas. Por lo tanto, la expresión y=mx representa el conjunto de todas las funciones lineales o, geométricamente, la familia de todas las rectas que pasan por el origen de coordenadas.
Las letras a, b y c se consideran parámetros porque para cada valor concreto de cada una de ellas se obtiene una de las infinitas parábolas que existe.
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- En aritmética, representan números genéricos y se usan para expresar propiedades generales o identidades.
- En ciertas fórmulas, representan magnitudes generales.
- En las expresiones algebraicas (como polinomios, fracciones algebraicas...) representan variables indeterminadas.
- En las ecuaciones, sistemas de ecuaciones o inecuaciones representan incógnitas.
- En las funciones representan variables que están relacionadas.
- En otras ocasiones, actúan como constantes.
- También pueden actuar como parámetros.
Por lo tanto, ¡debemos pararnos a pesar en qué contexto nos encontramos para poder interpretar correctamente el significado de una letra en matemáticas!
