Los números naturales y los enteros.

Desde muy temprana edad se introducen los números en nuestra vida. Ya en la educación infantil se trabaja el concepto de cantidad y los niños empiezan a familiarizarse con los símbolos 1, 2, 3... asociados al número de objetos que hay en un conjunto.

A medida que vamos creciendo aprendemos más y más números, y vamos conociendo otros conjuntos numéricos, algunos de ellos muy extraños, como los números "negativos", las "fracciones", los números "decimales"...

En esta entrada y en otras posteriores, pretendo poner un poquito de orden dentro del inmenso conjunto de números con los que hemos tenido que trabajar, aclarando algunas ideas básicas.

• Los números naturales.

Los números naturales surgen de la necesidad del hombre de contar los objetos que hay en su entorno. Su origen se remonta a la era primitiva, aunque entonces, lógicamente, no utilizaban los símbolos que actualmente conocemos.

En un principio, se supone que para contar harían marcas en los árboles, utilizarían piedras o harían nudos en las cuerdas... 

Con el paso del tiempo, empezaron a utilizar símbolos, como, por ejemplo, en el sistema de numeración romano, el egipcio, el griego, el maya...

El sistema de numeración tal y como lo conocemos en la actualidad es el indo-arábigo, y fue bastante posterior.

Los números naturales son, pues, los que se utilizan para contar y ordenar. 

Así, decimos, por ejemplo, "tengo quince años (15)" o "vivo en el tercer piso (3)"...

• El número cero.

La historia del número 0 es diferente. El hombre primitivo no tenía necesidad de contar conjuntos que no tuvieran ningún elemento. 

Para qué contar "cero" elefantes, por ejemplo; si no había ningún elefante, no había necesidad de contar nada... Por eso, el número "cero" tardó mucho tiempo en aparecer.

Aunque algunas civilizaciones ya usaron la idea de número cero representando el "vacío", este número no tuvo especial trascendencia hasta que los árabes lo exportaron a occidente desde la India. Fíjate que civilizaciones tan importantes como la romana nunca utilizaron el número cero.

Después de muchos debates, actualmente se reconoce el número cero como número natural, y, de hecho, habrás estudiado que el conjunto de los números naturales se simboliza por N (inicial de la palabra "natural") y está formado por los números:

Con los números naturales se pueden definir algunas operaciones, como la suma o la multiplicación, pero no se pueden definir otras, como la resta o la división, porque, en general, no se pueden efectuar:

• Los números enteros.

Los números negativos se llamaron inicialmente "números deudos" o "números absurdos". Aunque las primeras manifestaciones de su uso se remontan al siglo V en oriente, hasta el siglo XVI no llegan a occidente. 

Parece ser que la diferenciación entre números positivos y negativos se interpretó como créditos y débitos ("lo que tengo" y "lo que debo")

Hasta finales del siglo XVIII los números enteros no fueron aceptados universalmente.

Actualmente, utilizamos los números enteros con mucha naturalidad, por ejemplo:

• Cuando queremos distinguir entre tener 1000 euros en el banco (1000 o +1000) o deber 1000 euros al banco (-1000)

• Para diferenciar entre temperaturas sobre cero (15º C) y temperaturas bajo cero (- 2º C)

• Cuando estamos en un ascensor y queremos distinguir entre subir al tercer piso (pulsar el 3º) o bajar el garaje (pulsar el -1)...

Como sabrás, el conjunto de los números enteros está formado por los números naturales (positivos) y por los opuestos de los números naturales (negativos).

Se simboliza por la letra Z, que proviene de la expresión Zahien, que, en alemán, significa "número". 

Con los números enteros podemos seguir realizando las operaciones de sumar y multiplicar, como ocurría con los números naturales, pero ya podemos definir la resta de enteros, no así la división. 

Como sabes, los números enteros se representan en una recta del siguiente modo:

Este tipo de representación permite ordenar los números enteros sabiendo que su valor aumenta de izquierda a derecha, es decir, un número es mayor que otro cuando está representado a su derecha:

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Y para acabar, un poco de humor matemático...