Los números racionales y los irracionales.

Hemos dedicado una entrada anterior a los números naturales y los enteros:

Los números naturales y los enteros

Ahora pretendemos aclarar los que se entiende por número racional y por número irracional.

Como sabemos, los números naturales surgieron de la necesidad de contar y ordenar objetos. Pero también fue necesario realizar medidas, y no todas las medidas se podían representar por cantidades enteras. De ahí surgió la idea de fracción.

La primera gran civilización que utilizó las fracciones fue la egipcia, pero solo usaban fracciones con numerador igual a 1.  

El resto de fracciones se expresaban como suma de fracciones con numerador unitario. Así, por ejemplo:

Nuestra notación habitual para designar fracciones fue introducida en Europa por Fibonacci en el siglo XIII.

A principios del siglo XV se generalizó el uso de los números decimales, pero hasta el siglo XVII no se expresaban como les conocemos hoy, separando la parte entera de la decimal con una coma o con un punto.

- Pero, ¿qué es un número racional?

Un número racional es aquel que puede expresarse en forma de fracción (es decir, como cociente de dos números enteros con denominador distinto de 0).

Observa que en la definición decimos "que puede expresarse en forma de fracción", y no "que venga expresado necesariamente en forma de fracción" . Por lo tanto, no debemos confundir los números racionales con las fracciones.

Dentro de los números racionales se incluyen muchos números que no son fracciones, pero que se pueden expresar como fracciones. Así, son números racionales:

• Los números enteros:  Por ejemplo, el 7, puesto que

• Los números decimales finitos:  Por ejemplo, 0'045, ya que

• Los números decimales infinitos periódicos (puros o mixtos):

    

El conjunto de los números racionales se representa con la letra Q, que es la inicial de la palabra "quotient" (cociente, en inglés)

-  Y entonces, ¿cuáles son los números irracionales?

Pues, como su propio nombre nos indica, son los números no racionales, es decir, los números que no pueden expresarse en forma de fracción. 

Por lo tanto, los números irracionales son los números decimales con infinitas cifras decimales no periódicas.

Ya en el siglo VII a.C. los griegos descubrieron las magnitudes irracionales al comparar la diagonal y el lado de un cuadrado o la diagonal y el lado de un pentágono regular.

Llamaron "irracionales" a estas magnitudes porque su existencia "no entraba dentro de su conocimiento racional".

Así fueron surgiendo algunos números irracionales muy conocidos:

• El "número áureo o número phi", al comparar la diagonal de cualquier pentágono regular con su lado.

• El número "raíz cuadrada de 2", al hallar la diagonal de un cuadrado de lado 1 unidad.

• El famoso "número pi", al comparar la longitud de una circunferencia con su diámetro.

Veamos algunos ejemplos de irracionales:

El conjunto de todos los números irracionales se representa con la letra I.

Ahora, fíjate en algunos irracionales muy conocidos:

• Por último, tenemos el conjunto R de los números reales que está formado por todos los números racionales y por todos los irracionales:

R = Q U I

Espero que ahora comprendas mejor esos esquemas que suelen aparecer en los libros de texto, explicándonos los distintos conjuntos numéricos. Aquí te dejo uno de ellos:

Podríamos decir que en el conjunto de los números reales están incluidos todos los números que necesitamos para realizar nuestros cálculos (todos los números que, para nosotros, "existen"...) pero aún hay varios problemas que no somos capaces de resolver con este enorme conjunto numérico:

• No podemos dividir entre cero.

• No podemos calcular raíces cuadradas de números negativos, por lo que no sabemos resolver ciertas ecuaciones de segundo grado que parecen muy elementales.

Para resolver estos problemas tendremos que introducir otros conceptos como son la noción de infinito y el conjunto de números complejos, pero eso ya es otra historia...

Os dejo unos enlaces en los que podéis encontrar vídeos que muestran algunas curiosidades de los números irracionales. Espero que os gusten:

EL NÚMERO DE ORO. LA DIVINA PROPORCIÓN

EL NÚMERO "PI"

FIBONACCI