Los determinantes: ¿Qué son, cómo se calculan y para qué sirven?

¿QUÉ ES UN DETERMINANTE?

Un determinante es un número asociado a una matriz cuadrada.

Recibe el nombre de "determinante" porque, como veremos, permite determinar propiedades esenciales de una matriz o de un sistema de ecuaciones. Por ejemplo, nos permitirá decidir si una matriz tiene inversa, si un sistema de ecuaciones tiene solución única, cómo se transforman áreas o volúmenes en el espacio...

El concepto formal de determinante para una matriz cuadrada de orden n es muy complicado de entender y excede los objetivos propuestos para el alumnado de bachillerato, por lo que nos vamos a centrar en los procedimientos de cálculo de determinantes.

¿CÓMO SE CALCULAN LOS DETERMINANTES?

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Hay otra forma de recordar los seis productos que intervienen en la Regla de Sarrus con sus signos respectivos: 

Te recomiendo que practiques con ambas versiones y, a continuación, utilices la que te resulte más fácil de recordar.

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El problema es que la regla se Sarrus no se puede aplicar a determinantes de orden superior a tres. ¿Cómo calculamos este tipo de determinantes?

Para ello tenemos que utilizar el concepto de "Adjunto de un elemento de una matriz cuadrada". Recordemos:

Recordemos que hay una propiedad de los determinantes que nos garantiza que el determinante de una matriz cuadrada es igual a la suma de los productos de los elementos de una línea cualquiera de la matriz por sus adjuntos correspondientes. Este resultado se conoce como "Desarrollo de un determinante por los adjuntos de una línea":

La ventaja de este método de cálculo es que podemos desarrollar el determinante por cualquiera de sus líneas (filas o columnas) por lo que se recomienda hacerlo por aquella línea que más ceros tenga puesto que evitaremos calcular los adjuntos de esos elementos.

¡Pero aún hay más! Si no hay suficientes ceros en la matriz original puedes aplicar transformaciones que no alteran el valor del determinante y conseguir que en una línea de la matriz haya más ceros. Este procedimiento se conoce coloquialmente como "hacer ceros en una línea de la matriz" 

Lo ideal sería transformarla en otra que tenga todos los elementos de una línea igual a 0 excepto uno. De esta forma, sólo tendríamos que calcular el adjunto de dicho elemento no nulo.

Veamos un ejemplo con una matriz 3x3:

¡Y aún nos falta lo mejor!

Este procedimiento es válido para hallar determinantes de matrices de cualquier orden, por lo que ya tenemos un método de cálculo para determinantes de orden superior a 3 en los que, como ya sabemos, la regla se Sarrus no se puede aplicar.

Veamos un ejemplo:

• Desarrollando directamente por la línea que más ceros tenga:

• Transformando la matriz en otra que tenga más ceros en una línea sin alterar el valor del determinante:

Pero hazlo con mucho cuidado porque es muy frecuente equivocarse y aplicar transformaciones no válidas, es decir, transformaciones que alteran el valor de los determinantes.

¿PARA QUÉ SIRVEN LOS DETERMINANTES?

Veamos algunas de las utilidades de los determinantes:

Sistemas de ecuaciones lineales: Permiten saber si un sistema tiene una solución única (si el determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de 0). También se utilizan para resolverlos mediante la Regla de Cramer.

Matriz inversa: Una matriz cuadrada solo es invertible si su determinante es diferente de cero. Además, facilitan el cálculo de la inversa de una matriz.

Rango de una matriz: Ayudan a determinar el rango (el orden del mayor menor no nulo dentro de la matriz).

Geometría y áreas/volúmenes: En geometría analítica y física, el valor absoluto de un determinante permite calcular el área de un paralelogramo o el volumen de un paralelepípedo definido por vectores.

Transformaciones y gráficos: Se emplean en gráficos por ordenador para ver cómo se escalan las áreas o volúmenes en una transformación lineal.

Algunas aplicaciones más...